Materiale didattico

Lezione del 19/02/18

Presentazione del corso e patto formativo con gli studenti. Introduzione allo studio delle funzioni reali di due variabili reali. Richiami sullo spazio vettoriale R2, Disugualianza di Cauchy-Schwarz, Funzioni reali di variabili reali, calcolo del dominio, richiami di geometria analitica nel piano (retta, parabola, circonferenza, ellisse, iperbole)

Lezione del 20/02/2018

Curve di livello; nozioni di topologia in R2; nozioni di intorno, intorno circolare;  punto di accumulazione, insiemi limitati e non limitati; punto interno, esterno, di frontiera; limiti per le funzioni in due variabili

Lezione del 22/02/2018

Limiti per le funzioni di due variabili; continuità per le funzioni in due variabili, esempi e controesempi. Teorema di Weiestrass, teorema dei valori intermedi.

Matrici e determinanti: matrice quadrata, matrice triangolare, matrice identica, matrice trasposta. Determinante di una matrice, regola di Laplace, regola di Sarrus; Inversa di una matrice; condizione di invertibilità

Lezione del 01/03/2018

Proprietà dei determinanti. Algoritmo di Gauss per il calcolo del determinante. Rango di una matrice. Teorema degli orlati. Metodo di Gauss per il calcolo del rango. Sistemi lineari e loro classificazione; sistemi di Cramer; teorema di Rouchè – Capelli.

Lezione del 05/03/2018

Esercitazione sui sistemi lineari; sistemi con parametro

Lezione del 06/03/2018

Calcolo differenziale per le funzioni in due variabili: nozione di derivata parziale e suo significato geometrico; nozione di differenziabilità; relazione tra continuità, derivabilità e differenziabilità; teorema del differenziale totale

Lezione del 08/03/2018

Derivate direzionali e loro significato geometrico; ancora sulla nozione di differenziabilità; Differenziabilità e continuità; gradiente e suo significato geometrico; formula del gradiente.

Lezione del 12/03/2018

Funzioni con hessiano nullo. Massimi e minimi assoluti. I teorema di Weiestrass, II teorema di Weiestrass. Metodo del moltiplicatori di Lagrange

Lezione del 13/03/2018

Esercitazione sulle funzioni di due variabili reali, domini, curve di livello, massimi e minimi

Lezione del 15/03/2018 (4h)

Esercitazione: calcolo del gradiente; calcolo del laplaciano; calcolo della divergenza; calcolo del rotore; calcolo del differenziale totale

Introduzione alle equazioni differenziali. Equazioni differenziali del I ordine lineari omogenee e non omogenee

Lezione del 19/03/2018 (4h)

Equazioni differenziali ordinarie. Teorema di esistenza e unicità in piccolo; teorema di esistenza e unicità in grande. Equazioni differenziali a variabili separabili; equazioni differenziali di Bernoulli. Equazioni differenziali del II ordine a coefficienti costanti omogenee e non omogenee.

Lezione del 20/03/2018

Altre equazioni differenziali del I ordine non omogenee. Metodo della variazione delle costanti arbitrarie. Equazioni differenziali di grado superiore al II.

Lezione del 22/03/2018

Esercitazione sulle equazioni differenziali

Lezione del 27/03/2018

Algebra lineare: autovalori e autovettori di una matrice; molteplicità algebrica e molteplicità geometrica; caratterizzazione di un autospazio; matrice diagonale; diagonalizzazione di una matrice quadrata.

Geometria: La retta nel piano cartesiano in forma cartesiana, in forma parametrica e sotto forma di determinante. La retta nello spazio; numeri direttori; equazione del piano; equazione della retta in forma parametrica e sotto forma di intersezione di due piani; retta per un punto e parallela a un’altra.

Lezione del 05/04/2018 (dott..ssa D’Arienzo)

Esercitazione sulle equazioni differenziali

Lezione del 09/04/2018

Geometria analitica nello spazio: retta passante per un punto e parallela a una retta data; equazione del piano passante per una retta e per un punto; equazione della retta per un punto e contenuta in un piano e incidente una retta data; equazione della retta perpendicolare a un piano; equazione di un piano perpendicolare a una retta; equazione di una retta per un punto, incidente una retta data e perpendicolare a un’altra retta data; minima distanza tra due rette sghembe. Coniche e loro classificazione

Lezione de 10/04/2018

Introduzione allo studio delle curve. Lunghezza di una curva. Rettificabilità. Integrali curvilinei.

Lezione del 12/04/2018

Esercitazione

Lezione del 16/04/2018

Prova intercorso

Lezione del 17/04/2018

Curve e integrali curvilinei: omeomorfismi; curve semplici aperte, rappresentazione parametrica di una curva; curve e parametrizzazioni; curve e sostegno; curve semplici chiuse; alcune curve notevoli (spirale logaritmica, spirale di Archimede; elica cilindrica; cardioide; licomachee; trifolium, deltoide; goccia); orientazione di una curva; curve equivalenti; teorema sulla lunghezza delle curve equivalenti; integrale curvilineo; indipendenza dalla parametrizzazione.

Lezione del 19/04/2018

Forme differenziali lineari; integrali curvilinei di II specie; indipendenza dalla parametrizzazione; forme differenziali su curve generalmente regolari; teorema fondamentale per gli integrali curvilinei; forme differenziali chiuse; forme differenziali esatte; domini connessi; caratterizzazione delle forme differenziali esatte.

Lezione del 23/04/2018 (4h)

Insiemi stellati; chiusura ed esattezza; domini semplicemente connessi; forme differenziali in aperti stellati; forme differenziali in aperti semplicemente connessi; campi vettoriali; il campo gravitazionale e il campo elettrico.

Lezione del 24/04/2018

Lavoro di una forza; circuitazione; l’operatore nabla, la divergenza e il rotore; campi conservativi; caratterizzazione dei campi conservativi; Esercizi sui campi vettoriali e integrali di linea

Lezione del 26/04/2018

Esercitazione su forme differenziali e campi vettoriali

Lezione del 03/05/2018

Integrali multipli: somme di Riemann, calcolo di integrali doppi su rettangoli; convergenza delle somme di Riemann; definizione di integrale doppio; formule di riduzione degli integrali doppi; integrazione su domini generici; proprietà dell’integrale doppio; integrazione su domini semplici; integrazione su domini non semplici;

Lezione del 07/05/2018

Cambiamento di variabili negli integrali doppi; passaggio a coordinate polari

Lezione del 08/05/2018

Esercizi sugli integrali doppi. Sotto è postato un video sugli integrali tripli

https://vimeo.com/215533102

Lezione del 10/05/2018

Applicazioni degli integrali doppi: calcolo del baricentro, calcolo dei momenti d’inerzia, calcolo della densità di carica. Integrali tripli: riduzione per fili e per strati. Esercizi

Lezione del 14/05/2018

Integrali tripli e cambiamento di variabili, passaggio a coordinate cilindriche, passaggio a coordinate sferiche

Lezione del 15/05/2018

Applicazioni degli integrali tripli, calcolo dei volumi di solidi di rotazione; formule di Gauss-Green; esercizi sul calcolo della densità, del baricentro e del momento d’inerzia di figure piane.

Lezione del 17/05/2018

Rappresentazione delle quadriche: generalità, classificazione; ellissoide, sfera, paraboloide, iperboloide; cono, cilindro. Definizioni di superficie; superfici e loro rappresentazione parametrica; superfici di rotazione; piano tangente a una superficie; superfici orientabili

Lezione del 21/05/2018

Integrali superficiali di I specie. Esercizi e applicazioni

Lezione del 22/05/2018

Integrali superficiali di II specie; Flusso di un campo vettoriale. Esercizi e applicazioni

Lezione del 24/05/2018

Lezione del 28/05/2018

Lezione del 29/05/2018

Lezione del 31/05/2018

Lezione del 04/06/2018

Lezione del 05/06/2018

Lezione del 07/06/2018