A.A. 2020-21

Corso di Analisi Matematica I – Ingegneria Meccanica e Aerospaziale (A-IER) – sede San Giovanni

Lezione 1 07/10/2020 Equazioni e disequazioni algebriche di I grado, di II grado, di grado superiore al secondo. Sistemi di disequazioni, disequazioni fratte.
Lezione 2 08/10/2020 Equazioni e disequazioni irrazionali; equazioni e disequazioni in valore assoluto

Lezione 3 09/10/2020 Equazioni e disequazioni esponenziali; equazioni e disequazioni logaritmiche

Lezione 4 14/10/2020 Richiami di trigonometria: definizione di angolo; misura di un angolo; Funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente e cotangente; loro rappresentazione grafica; principali valori assunti dalle funzioni trigonometriche; identità trigonometriche fondamentali; archi opposti, archi complementari, supplementari, esplementari, formule di addizione e sottrazione, formule di duplicazione, di bisezione, di prostaferesi, di Werner. Equazioni e disequazioni goniometriche elementari; equazioni e disequazioni goniometriche

Lezione 5 15/10/2020 Concetto di funzione, funzione iniettiva, suriettiva, biettiva, inversa di una funzione, massimo e minimo di una parte di un insieme totalmente ordinato, estremo superiore ed estremo inferiore. Concetto di funzione reale di una variabile reale; diagramma di una funzione reale di variabile reale; funzioni pari e dispari e loro rappresentazione grafica. Alcuni esempi di funzioni elementari: funzione lineare, funzione valore assoluto, funzione potenza con esponente un intero positivo; funzione radice; funzione parte intera.
Lezione 6 16/10/2020 Funzioni reali di una variabili reale; immagine e immagine reciproca, restrizione e prolungamento di una funzione, funzione crescente e funzione decrescente. Alcuni esempi di funzioni elementari: funzione potenza, funzione radice n-esima, funzione logaritmica. Insieme di definizione delle funzioni reali di una variabile reale: primi esempi.

Lezione 7 21/10/2020 Funzioni reali di una variabile reale: funzioni periodiche, funzioni seno, coseno, tangente e cotangente. Funzioni inverse trigonometriche. Disequazioni trigonometriche inverse; Calcolo dell’insieme di definizione. Calcolo del periodo delle funzioni. Funzioni composte.
Lezione 8 22/10/2020 Esercizi sul calcolo dell’insieme di definizione. I numeri complessi. Forma algebrica dei numeri complessi, operazioni con i numeri complessi, inverso di un numero complesso; forma trigonometrica dei numeri complessi; forma esponenziale dei numeri complessi.

Lezione 9 23/10/2020 I numeri complessi: potenza k-esima e formula di De Moivre; radice n-esima e formula inversa di De Moivre; rappresentazione geometrica dei numeri complessi.

Le funzioni iperboliche: definizioni e relazioni fondamentali. Analogie tra funzioni trigonometriche e funzioni iperboliche: formule di duplicazione, addizione e sottrazione. Forma esponenziale delle funzioni iperboliche; inverse delle funzioni iperboliche.

Lezione 10 28/10/2020 Introduzione storica al concetto di limite. Nozioni di topologia della retta reale, nozioni di intorno e di punto di accumulazione; sottoinsiemi finiti e sottoinsiemi infiniti (con dim.), teorema di Bolzano-Weiestrass (con dim.); definizioni di interno, derivato e frontiera.
Lezione 11 29/10/2020 Nozioni di topologia della retta reale: insiemi compatti della retta numerica (con dim); teorema di Heine-Borel; Nozione di limite per una funzione reale di variabile reale e rispettivo significato geometrico; teorema di unicità del limite (con dim.); teorema di esistenza del limite di una funzione monotona.

Lezione 12 30/10/2020 Sospesa per mancanza di fornitura idrica
Lezione 13 04/11/2020 Esercitazione: Calcolo del campo di esistenza di una funzione; Grafici di funzioni ottenibili dalle funzioni elementari per traslazione, dilatazione, contrazione; grafico del valore assoluto di una funzione, grafico della funzione del valore assoluto; iniettività, suriettività, biettività, monotonia; funzioni pari e dispari. Risoluzione di equazioni nel campo complesso.
Lezione 14 05/11/2020 Verifica di un limite. Nozione di continuità per le funzioni reali. Teorema di Bolzano sulla continuità delle funzioni monotone (con dim.); teorema degli zeri (con dim.). Algebra dei limiti. Limiti di alcune forme interminate; prinicipio di eliminazione degli infintesimi; confronto fra infinitesimi.
Lezione 15 06/11/2020 (3h) Teoremi sulla continuità: I teorema dei valori intermedi (con dim.) II teorema dei valori intermedi (con dim.) teorema di Weiestrass;criterio di invertibilità; Funzioni uniformemente continue; teorema di Cantor. Limiti notevoli (con dim.) Applicazioni. Forma interminata zero per infinito.

Lezione 16 11/11/2020 Infiniti e infinitesimi; funzioni asintoticamente equivalenti; applicazioni allo studio dei limiti. Applicazioni del calcolo dei limiti allo studio delle funzioni: asintoti orizzontali, verticali e obliqui.
Lezione 17 12/11/2020 Limiti di funzioni reali: risoluzione di alcune forme di indecisione. Teorema della permanenza del segno (con dim.), teorema inverso (con dim.), caso di l=0;  teorema di regolarità per confronto (con dim.). Teoremi sulle operazioni con i limiti; teorema sui limiti delle funzioni composte.
Lezione 18 18/11/2020 Successioni,rappresentazione grafica, successioni convergenti, divergenti, oscillante.Teorema di unicità del limite; teorema sul limite delle successioni monotone, operazioni coi limiti. Risoluzione di limiti di successioni.
Lezione 19 19/11/2020 Successioni geometriche, teorema di permanenza del segno nella prima forma e nella seconda forma, teorema del confronto. Teorema ponte.  Serie numeriche, condizione necessaria per la convergenza, criterio di convergenza di Cauchy, serie geometrica, serie a termini positivi, primo criterio del confronto, secondo criterio del confronto, criterio del rapporto, criterio della radice. Esercizi sul grafico probabile di una funzione.
Lezione 20 20/11/2020 Esercizi sulle serie. Serie armonica generalizzata, serie a termini alterni; criterio di Leibnitz, serie assolutamente convergenti.

Introduzione al calcolo differenziale: il problema della tangente, significato geometrico di derivata, equazione della retta tangente, legame tra continuità e derivabilità (con dim.), Punti di non derivabilità.

Lezione 21 25/11/2020

Derivata delle funzioni elementari attraverso la definizione; teorema di derivazione di una somma, derivata di derivazione di un prodotto; teorema di derivazione di un rapporto. Teorema di Rolle e suo significato geometrico (con dim.); teorema di Lagrange e suo significato geometrico (con dim.)

Lezione 22 26/11/2020 Teorema di Cauchy e suo significato geometrico (con dim.); teorema di Fermat (con dim.); funzioni crescenti e decrescenti; condizione necessaria per la monotonia; condizione sufficiente per la monotonia.
Lezione 23 27/11/2020 Prima prova intercorso

Lezione 24 02/12/2020 Esercizi su continuità e derivabilità; applicazione del calcolo differenziale allo studio delle funzioni; massimi e minimi relativi per le funzioni reali di una variabile; concavità convessità e flessi; caratterizzazione delle funzioni convesse o concave derivabili; caratterizzazioni delle funzioni convesse e concave derivabili due volte.

Lezione 25 03/12/2020 Formula di Taylor; approssimazione di una funzione con un polinomio; polinomio di Taylor di ordine n centrato in x0. Sviluppo di McLaurin di alcune funzioni notevoli; teorema di unicità del polinomio di Taylor; proprietà del simbolo di Landau; sviluppo della somma; sviluppo del prodotto.

Lezione 26 04/12/2020 Sviluppo di Taylor di una funzione composta; applicazioni.

Studio completo di una funzione: esempio di una funzione con valore assoluto.

Lezione 27 09/12/2020 Calcolo approssimato delle radici di una equazione; separazione delle radici; teorema degli zeri; teorema di unicità degli zeri. Metodo dicotomico; metodo della tangente; metodo della secante; metodo iterativo.
Lezione 28 10/12/2020 Studio di una funzione definita a tratti.

Nozione di integrale per una funzione reale continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b].

Lezione 29 11/12/2020 Proprietà  dell’integrale di una funzione continua: proprietà di linearità, proprietà di additività, teorema della media (con dim.) proprietà di monotonia; l’integrale per il calcolo delle aree e l’integrale come antiderivata. Integrazione delle funzioni elementari; integrali delle funzioni composte. Teorema dell’integrazione per parti. Lemma fondamentale del calcolo integrale (con dim.) teorema fondamentale del calcolo integrale (con dim.)

Lezione 30 16/12/2020 Metodi per l’integrazione indefinita: integrazione di funzioni fratte; integrazione per sostituzione; integrazione per parti.
Lezione 32 17/12/2020 Sommabilità di una funzione; criterio di sommabilità dell’ordine dell’infinitesimo; criterio di sommabilità dell’ordine dell’infinito; integrazione di funzioni pari e dispari; integrali impropri; del I tipo, del II tipo, del III tipo.

Sostituzione di funzioni irrazionali.

Lezione 33 18/12/2020 Studio di funzioni con parametro. Come ricavare i grafici delle funzioni in valore assoluto. Studio del grafico della derivata e della primitiva a partire dal grafico di una funzione.