Materiale didattico

Lezione del 25/09/2017 (prof. Vitolo)

Richiami sulle successioni numeriche: convergenza, successioni monotone. Successioni di funzioni: convergenza puntuale, uniforme, con esempi, teoremi di continuità del limite uniforme, passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata. Richiami sulle serie numeriche: convergenza, condizione necessaria, assoluta convergenza, serie a termini non negativi e criteri, serie a segni alterni.

Lezione del 26/09/2017 (prof. Vitolo)

Serie geometrica. Serie di funzioni: somma, convergenza puntuale, uniforme, totale, teorema della convergenza totale, con esempi, teoremi di continuità della somma, integrazione e derivazione termine a termine, derivabilità del limite.

Lezione del 02/10/2017 (prof. Capone)

Introduzione alle funzioni reali di due variabili reali. Curve di livello; calcolo di Campi di esistenza delle funzioni reali di due variabili reali. Nozioni di topologia in R2. Cenni sullo spazio vettoriale R2. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.

Lezione del 03/10/2017 (prof. Vitolo)

Serie di potenze: intervallo di convergenza, calcolo del raggio di convergenza, indefinita derivabilità termine a termine, sviluppabilità in serie di Taylor della somma di una serie. Cambiamenti di variabile nelle serie di funzioni. Serie di Taylor associata ad una funzione indefinitamente derivabile e sviluppabilità in serie di Taylor. Principali sviluppi in serie di Taylor, in particolare di Mac Laurin (serie geometrica, esponenziale, seno, coseno, …)

Lezione del 09/10/2017 (prof. Capone)

Limiti e continuità per le funzioni reali di due variabili reali. Funzioni continue in un punto, esempi e controesempi; Teorema di Weiestrass, I Teorema dei valori intermedi, II teorema dei valori intermedi

Lezione del 10/10/2017 (prof. Capone)

Le derivate parziali; significato geometrico; derivabilità delle funzioni; derivate successive; derivate direzionali; teorema di Schwarz; differenziabilità. Massimi e minimi relativi per le funzioni di due variabili; test dell’Hessiana.

Lezione del 16/10/2017 (prof. Vitolo)

Equazioni differenziali in forma normale. Tecniche di soluzione per equazioni differenziali del primo ordine. Esempi di equazioni differenziali, terminologia, soluzione generale, problema di Cauchy, forma normale, equazioni del primo ordine a variabili separabili, equazioni del primo ordine in forma normale con f(x,y) combinazione lineare di x e y. Equazioni omogenee con f funzione del rapporto y/x.

Lezione del 17/10/2017 (prof. Vitolo)

Equazioni differenziali e sistemi. Esistenza e unicità di soluzioni: struttura della soluzione generale di una equazione lineare omogenea, sistemi di equazioni del primo ordine e problema di Cauchy, equazioni differenziali di ordine superiore e sistema di equazioni del primo ordine equivalente, condizioni iniziali, funzioni lipschitziane, teorema di esistenza e unicità locale per il problema di Cauchy, equazione integrale equivalente, dimostrazione dell’esistenza con il metodo delle approssimazioni successive.

Lezione del 23/10/2017 (Prof. Capone)

Continuità e differenziabilità, teorema del differenziale totale, formula del gradiente, significato geometrico del gradiente, il differenziale primo. Massimi e minimi locali, teorema di Fermat (condizione necessaria del I ordine)funzioni con gradiente nullo, i punti critici di una funzione, test dell’hessiana (condizione necessaria del secondo ordine); massimi e minimi su domini chiusi, I e II teorema di Weierstrass, metodo dei moltiplicatori di Lagrange, significato geometrico del teorema di Lagrange.

Lezione del 24/10/2017 (prof. Vitolo)

Equazioni differenziali lineari, condizioni di unicità ed esistenza in grande delle soluzioni di un problema di Cauchy: esempi e controesempi, operatori differenziali lineari, unicità ed esistenza in grande delle soluzioni di un sistema di equazioni differenziali lineari del primo ordine e di un’equazione differenziale di ordine superiore, spazio vettoriale delle soluzioni dell’equazione omogenea, tecniche di soluzione per equazioni differenziali del primo ordine e di ordine superiore a coefficienti costanti, struttura dell’insieme delle soluzioni delle equazioni differenziali lineari non omogenee

Lezione del 30/10/2017 (Prof. ssa Adesso)

Massimi e minimi vincolati. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange (esercizi)

Lezione del 31/10/2017 (prof. Vitolo)

Equazioni differenziali lineari non omogenee – Fattore integrante – Bernoulli -  Soluzioni particolari secondo i termini noti – Wronskiano – Problemi di Cauchy – Verifica condizioni per esistenza e unicità

Lezione del 06/11/2017 (prof. Capone)

Curve: definizioni e generalità, omeomorfismi, curve semplici aperte, curve e parametrizzazioni, curve e proprio sostegno, curve regolari. Lunghezza di una curva

Lezione del 07/11/2017 (prof. Capone)

Esempi di curve notevoli (cicloide, elica cilindrica, spirale logaritmica, spirale di Archimede), curve chiuse, curve di Jordan, l’asteroide; l’orientazione di una curva; teorema delle rettificabilità; curve equivalenti; teorema sulle curve equivalenti; integrale curvilineo; indipendenza dalla parametrizzazione

Lezione del 13/11/2017 (prof. Capone)

Esercizi sulla lunghezza di una curva e su integrali curvilinei di I specie. Introduzione alle forme differenziali lineari. Indipendenza dalla parametrizzazione; forme differenziali esatte e chiuse; domini connessi, insiemi stellati, domini semplicemente connessi; forme differenziali in aperti stellati; caratterizzazione delle forme differenziali esatte; relazione tra chiusura ed esattezza.

Lezione del 14/11/2017 (prof. Capone)

Campi vettoriali;  lavoro di una forza, circuitazione, parallelismi tra forme differenziali lineari e campi vettoriali; campi irrotazionali, campi conservativi. Esercizi

Lezione del 20/11/2017 (prof. Capone)

Introduzione all’integrazione multipla: domini x-semplici e y-semplici. Formule di riduzione di Fubini

Lezione del 21/11/2017 (prof. Capone)

Integrali doppi, cambiamento di variabili, passaggio a coordinate polari

Lezione del 11/12/2017

Integrali tripli. Integrazione per fili e per strati. Cambiamento di variabili: coordinate cilindriche e coordinate sferiche. Esercizi